natuurlijke getallen

Wiskunde - natuurkunde - chemie - biologie - aardrijkskunde - ...

Moderators: jan.lannoo, chris.goevaerts

peter.wynen
gebruiker
Berichten: 1
Lid geworden op: 25 Jan 2005 01:03

natuurlijke getallen

Berichtdoor peter.wynen » 25 Jan 2005 01:29

Leer-klachten !

Wie wil/kan een burger in een recht-zaak tegen het ministerie van onderwijs helpen ?

Geachte,

De eis in de zaak is simpel : geef onze kinderen de juiste informatie over de deelbaarheid van onze getallen mee. Verbeter de verkeerde informatie die nu nog in hun boeken staat.

De rechtzaak is op 21 januari 2005 naar de rol verwezen. De twee partijen hun weergave van wat inhoudelijk ter discussie staat, staan werkelijk loodrecht op elkaar.

Mijn bewering is dat de priemgetallen, uitgenomen 2 en 3, een volgorde hebben die op een simpele manier verklaarbaar is. Het ministerie van onderwijs houdt vol dat hun volgorde onverklaarbaar en compleks is.

Beide beweringen kunnen natuurlijk niet tegelijkertijd juist zijn, want ze spreken elkaar tegen. Zoveel is 100% zeker geweten voor er enig vonnis geveld is.

In alle leer-boeken van onze kinderen staat dat er géén simpele verklaring is voor de volgorde van de priemgetallen. Iedere onderwijzer is van dit gegeven al eeuwen-lang overtuigd. Controleer het maar even op het internet. Ieder-één is er 100% van overtuigd. Enkel een definitie wordt er gegeven, een verklaring voor de volgorde van die getallen zal u nergens vinden.

Het beantwoorden van de vraag hier gesteld, zal het u duidelijk maken dat, niettegenstaande wat onderwijzers doorgaans ver-tellen, er wel een éénvoudige verklaring is voor de volgorde van die getallen.

Indien u wenst, maar dat hoeft niet om de met ja of nee te beantwoorden, kan u gemakkelijk controleren dat de getallen in het kader, die niet omcirkeld en niet doorstreept zijn, na toevoeging van 2 en 3, alle priemgetallen opleveren.

Ik heb al handtekeningen gekregen van mensen met een advocaat-, een ingenieur- en leraardiplomas, maar ook al van kinderen van 12 jaar oud. Allen zijn zij akkoord :
Er is geen enkele reden waarom kinderen de volgorde van de beschreven getallen, na het verkrijgen van de juiste informatie, niet zouden kunnen verstaan.
De verklaring is inderdaad verbazend simpel.

Dit is mijn vraag :

Geeft, volgens u, de woordelijke beschrijving onderaan, de regelmaat in de volgorde van de ermee aangeduide getallen verstaan-baar weer ?

Ja of nee

De regelmaat in de met de beschrijving aangeduide getallen is te verstaan door eerst 2 delen van de oneven getallen, in het kader...

A. ( te omcirkelen )

Duid het getal 1- 3, en alle veelvouden van 3 aan door er een cirkel rond te trekken. Het zijn de vet- en scheef-gedrukte getallen in het kader.

B. ( door te strepen )

Streep nu de getallen door, verkregen door alle niet-omcirkelde getallen te vermenigvuldigen met zichzelf en alle andere niet-omcirkelde getallen. De resultaten van deze bewerking hieronder uitgevoerd zijn in het kader onderstreept.

x5 x7 x11 x13 x17 x19 x23 x25 x29 x31 x35 x37

5 25 35 55 65 85 95 115 125 145 155 175 185
7 49 77 91 119 133 161 175
11 121 143 187
13 169


1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143 145 147 149 151 153 155 157 159 161 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183 185 187 189 191 193 195 197 199

A. U omcirkelde 1 â€â€œ 3, en de veelvouden van 3. B. U doorstreepte vervolgens de getallen verkregen door de niet-omcirkelde getallen met zichzelf en alle andere te vermenigvuldigen.

Eénieder kan zo de oneven getallen in het kader die noch omcirkeld (A), noch doorstreept (B) zijn, en reeds tot 41 hieronder voorgeschreven, gemakkelijk verder invullen : 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, . .

met woordelijke beschrijving : De oneven getallen, zonder 1 en 3, die geen veelvouden zijn van 3, met daaruitgenomen de getallen verkregen door de voornoemde getallen met zichzelf en alle andere te vermenigvuldigen.

Gelieve in eer en geweten, het volgens u juiste antwoord op de vraag bovenaan te geven.

Naam :
Datum :

Handtekening :

Dank voor uw antwoord, te bezorgen aan Peter Wynen Steegsken 6 2000 Aâ€â„¢pen.
Contact : Tel/fax 03 290 77 69 GSM 0485 499 440. Peterwynen888@msn.com

bruno.vandensteen
teamlid
Berichten: 211
Lid geworden op: 07 Okt 2004 21:36

Re: natuurlijke getallen

Berichtdoor bruno.vandensteen » 25 Jan 2005 11:46

Zou het niet handig zijn hier een poll van te maken? Iedere gebruiker kan normaal gezien slechts één keer de poll invullen. Zo wordt de drempel van het kopiëren-plakken-invullen-versturen vermeden...
En dan zie ik er inderdaad geen graat in behalve dan dat de definitie een beetje moeilijk verwoord wordt voor een leeftijd waarop lln de priemgetallen leren. Is dat dan geen jaar of 8, 9?

chris.vanmello
teamlid
Berichten: 204
Lid geworden op: 22 Sep 2004 14:19

Re: natuurlijke getallen

Berichtdoor chris.vanmello » 25 Jan 2005 12:09

bruno vandensteen schreef:En dan zie ik er inderdaad geen graat in behalve dan dat de definitie een beetje moeilijk verwoord wordt voor een leeftijd waarop lln de priemgetallen leren. Is dat dan geen jaar of 8, 9?

Ik ben het even (vlug) gaan nakijken in leerplannen en eindtermen voor het lager, maar ik heb niets over priemgetallen teruggevonden. Toch komt het in veel handboeken voor in lessen rond deelbaarheid. Dit gebeurt meestal in het vijfde leerjaar. De definitie is: een priemgatel is een getal met precies 2 verschillende delers.
Het is een leuk systeem, maar in het lager heeft men er niet veel aan. Want zoals ik al zei: het komt niet in de leerplannen voor en het is louter een toepassing op deelbaarheid van getallen. Priemgetallen zoeken is dus geen doel op zich, maar wel een middel om de deelbaarheid van getallen in te oefenen.

bruno.vandensteen
teamlid
Berichten: 211
Lid geworden op: 07 Okt 2004 21:36

Re: natuurlijke getallen

Berichtdoor bruno.vandensteen » 25 Jan 2005 12:13

merciekes hé... dat weten we dan ook weer... :wink:

bruno.lowagie
gebruiker
Berichten: 15
Lid geworden op: 26 Jan 2005 11:05

Re: natuurlijke getallen

Berichtdoor bruno.lowagie » 26 Jan 2005 12:55

Ja, je kan met een computerprogramma gemakkelijk een 'zeef' schrijven die tot eender welk vooraf vastgelegd getal alle priemgetallen uitzeeft (dat is trouwens het systeem dat je hierboven uitlegt).

Nee, een theorema waarmee alle priemgetallen in één formule gevat worden, bestaat niet. Veel wiskundigen hebben zich daar de kop over gebroken: je kan complexe formules maken die tot heel hoge getallen correct zijn, maar dan opeens zit er toch weer een fout op.

Is het zo moeilijk te vatten dat de Ja en Nee allebei waar zijn en probleemloos naast elkaar kunnen bestaan? Je kan die rechtszaak IMHO onmogelijk winnen omdat je twee soorten wetenschap door elkaar haalt.

Je verwart toegepaste wetenschappen met exacte wetenschappen.

Als je een 'zeef' schrijft om priemgetallen uit een lange sequentie getallen te filteren, dan ben je niet met exacte wetenschappen bezig. Dan ga je te werk zoals een toegepaste wetenschapper (btw: ik heb zelf een diploma in de toegepaste wetenschappen). Je kan met je methode n priemgetallen bepalen, maar als het het n+1de priemgetal nodig hebt, dan moet je méér getallen op je blad zetten en opnieuw beginnen schrappen. (Niet zo simpel, waar leg je de grens?)

Dat is niet de manier waarop een exacte wetenschapper te werk gaat. Een exacte wetenschapper wil een formule waar je niet alleen n priemgetallen mee kunt bepalen, maar die je bovendien automatisch ook het n+1de, het n+2de,... priemgetal oplevert. Dat doet je methode NIET! Ik hoop dat je dat begrijpt...

Moet een kind uit de lagere school dit begrijpen?
Ik kan alleen spreken uit eigen ervaring:

Het is precies de complexiteit van priemgetallen die hen zo interessant maakt, bij voorbeeld in de cryptografie. Ik herinner me dat dit aspect priemgetallen voor mij enorm boeiend maakte: op 12-jarige leeftijd maakte ik mijn eerste computerprogramma om priemgetallen te berekenen. Nu lijkt het een normale zaak dat kinderen een computer hebben, maar ik was 12 in 1982 en toen was ik een unicum: niemand anders in mijn klas had een computer, zelfs de leraren niet.

Ik heb toen ook een hele theorie uitgedacht om priemgetallen te bepalen (met een soort binaire methode) en ik raakte daarmee tamelijk ver, maar vanaf een bepaald getal ging mijn formule de mist in. Ik benaderde het probleem immers op de exact wetenschappelijke manier en het was dus een onoplosbaar probleem.

Eén van de eerste oefeningen in de lessen programmeren die ik later volgde (dat was in 1987; ik zat toen in het zesde middelbaar), was het schrijven van een 'zeef' om de priemgetallen tussen 0 en 1000 te bepalen. Dat was twee keer niks. Op een kwartiertje tijd had ik dat programma geschreven. Ik heb de oefening sindsdien in verschillende computercursussen zien terugkomen. Je kan zo'n programma uitbreiden tot 10.000, 100.000,... het werkt altijd. Maar dat bewijst niet dat het bepalen van de volgorde van priemgetallen simpel is.

Ik heb dus al van jongsaf aan het verschil tussen exacte en toegepaste wetenschap aangevoeld. Maar... ik was dan ook geen representatieve leerling... Misschien moet ik eens kijken naar mijn eigen kinderen:

Ik heb 2 kinderen van lagere schoolleeftijd en ik probeer hen als ouder 'de liefde voor de wetenschap' bij te brengen (exact of toegepast, dat doet er voorlopig niet toe). Ik weet echter dat te veel analyse dodelijk is voor elke vorm van liefde. Mijn standpunt is eerder: leer kinderen van 6 à 12 jaar 'verwonderd' te zijn over hoe de wereld in elkaar zit; maak die verwondering niet kapot door hen direct te overstelpen met 'exacte of toegepaste wetenschap'. Op die manier kweek je trouwens slechte uitvinders, want ze zullen nooit in staat zijn buiten het opgelegde denkkader te denken (iets wat ik voortdurend wél deed en ik verdien daar nu goed mijn boterham mee).
Veel van de dingen die ik in de lagere school geleerd heb, bleken achteraf verkeerd te zijn. So what? Ik heb er een beter inzicht in de wetenschap door gekregen. Ik heb geleerd dat 1 + 1 niet altijd aan 2 gelijk hoeft te zijn (misschien ga je bij zo'n uitspraak steigeren, maar lees wat dit betreft maar eens het boek The Structure of Scientific Revolutions van de wetenschapsfilosoof Thomas S. Kühn).
Dat zijn dingen die ik mijn kinderen probeer mee te geven. Ik licht van veel dingen een tipje van de sluier en ik geniet ervan als ik zie hoe geboeid ze luisteren als ik hen (bij voorbeeld) vertel over de technische aspecten van het projecteren van een film. Tegelijkertijd hoop ik dat film toch voor een stuk zijn magie behoudt. Het is een moeilijke oefening, maar het is de moeite waard.

Maar laat ons terugkeren naar de priemgetallen.
Samengevat:
- je kan priemgetallen voorstellen als 'eenvoudig' (een 'zeef' om alle priemgetallen tussen 0 en n te bepalen schrijf je in een paar computerprogrammaregels).
- je kan priemgetallen voorstellen als 'complex' (want je kan geen formule schrijven die je het priemgetal n+1 oplevert, al dan niet op basis van de n voorgaande).

Hoe je het op school voorstelt, hangt van het doelpubliek af. Over deze discussie een rechtszaak beginnen, is dat niet wat overdreven?
Ga je een leraar van het derde leerjaar aanklagen omdat hij je kinderen 'Mathilda' van Roald Dahl voorschotelt en zegt dat diens 'Tales of the Unexpected' te moeilijk zijn, ttz voor kinderen van die leeftijd? (Dat was voor mij een reden om op jonge leeftijd het volledige oeuvre van Dahl te lezen; ik heb er toen niet alles van begrepen, maar ik heb er wel deugd van gehad ;-) )

Laat ons pleiten voor wat meer redelijkheid. Laat ons vertrouwen op de ervaring en de knowhow van de leerkracht om te oordelen hoe hij of zij een onderwerp overbrengt op de leerlingen.
Gun leerkrachten de vrijheid niet altijd 'volgens het boekje' les te moeten geven. Gun leerlingen wat ruimte om zélf op zoek te gaan. Dat is een veel nobeler streven dan een rechtszaak in te spannen om één paragraaf in een wiskunde boek te laten aanpassen op basis van het misverstand dat exacte en toegepaste wetenschappen allemaal één pot nat zijn.

dizzl
gebruiker
Berichten: 106
Lid geworden op: 20 Okt 2004 08:10

Re: natuurlijke getallen

Berichtdoor dizzl » 26 Jan 2005 16:01

De eis in de zaak is simpel : geef onze kinderen de juiste informatie over de deelbaarheid van onze getallen mee. Verbeter de verkeerde informatie die nu nog in hun boeken staat.

Mijn bewering is dat de priemgetallen, uitgenomen 2 en 3, een volgorde hebben die op een simpele manier verklaarbaar is. Het ministerie van onderwijs houdt vol dat hun volgorde onverklaarbaar en compleks is.


E=mc² op een simpele manier te verklaren maar voor een kind volledig onverklaarbaar en complex ... niet?

bruno.lowagie
gebruiker
Berichten: 15
Lid geworden op: 26 Jan 2005 11:05

Re: natuurlijke getallen

Berichtdoor bruno.lowagie » 26 Jan 2005 20:13

Of zoals Einstein het stelde: Make everything as simple as possible, but not simpler.

CumpsD
programmeur
Berichten: 42
Lid geworden op: 27 Jul 2004 19:23

Re: natuurlijke getallen

Berichtdoor CumpsD » 27 Jan 2005 16:15

KISS, Keep It Sweet/Short and Simple

ontopic heb ik geen commentaar :p ken er niet genoeg van (wel dat een zeef coden easy is :p)


Terug naar

Wie is er online

Gebruikers op dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 0 gasten